La réputation de l’épreuve de mathématiques du gaokao tient moins à son programme qu’à sa construction. Le programme ressemble à celui d’une terminale scientifique exigeante : fonctions et dérivées, suites, trigonométrie, géométrie dans l’espace, probabilités et statistiques, coniques. Ce qui change, c’est la gradation : les premières questions sont abordables, les dernières sont conçues pour départager les meilleurs.
Dans les sujets récents du nouveau gaokao, on trouve en général des QCM à réponse unique, des QCM à réponses multiples où une réponse partiellement juste rapporte une partie des points, des questions à compléter, puis de grands problèmes rédigés. Le nombre exact de questions et le barème ont changé plusieurs fois et dépendent du sujet utilisé par la province : consultez les annales de la vôtre.
Voici un exercice dans l’esprit des questions de fin de sujet, sans être tiré d’une annale précise. Soit f(x) = e^x − ax − 1, où a est un réel. Déterminer toutes les valeurs de a pour lesquelles f(x) ≥ 0 pour tout réel x.
Première étape : remarquer que f(0) = 0. Si f doit rester positive partout, 0 doit donc être un minimum de f. Ce réflexe, chercher un point où l’inégalité devient une égalité, fait gagner beaucoup de temps sur ce genre de question.
Deuxième étape : étudier les cas. La dérivée vaut f′(x) = e^x − a. Si a < 0, quand x tend vers moins l’infini, e^x tend vers 0 et −ax tend vers moins l’infini, donc f prend des valeurs négatives. Si a = 0, f(x) = e^x − 1 est négative pour x < 0. Ces deux cas sont exclus.
Troisième étape : le cas a > 0. f′ s’annule en x = ln a, f décroît avant et croît après, donc son minimum vaut f(ln a) = a − a ln a − 1. Posons g(a) = a − a ln a − 1. On calcule g′(a) = −ln a : g croît sur ]0 ; 1] et décroît ensuite, donc son maximum est g(1) = 0. Ainsi g(a) ≤ 0, avec égalité seulement pour a = 1. La condition f(ln a) ≥ 0 impose donc a = 1, et la réponse est a = 1.
Ce qu’il faut retenir n’est pas la réponse, mais la mécanique : repérer le point d’égalité, découper en cas sans en oublier, puis introduire une seconde fonction pour étudier une expression en a. Ces trois gestes reviennent sans cesse dans les dernières questions du gaokao, et ils s’entraînent.
Stratégie d’examen : ne sacrifiez pas les questions du début pour la dernière. Une copie solide sur les deux premiers tiers vaut mieux qu’une copie brillante à moitié vide. Sur les grands problèmes, rédigez au moins les premières sous-questions, souvent notées séparément.